Día de Pi: los algoritmos permiten obtener nuevas cifras de π

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El número Pi sigue encerrando misterios que tratan de resolver los matemáticos en todo el mundo. Por ejemplo, todavía no se sabe si es un número normal en base 10, es decir si contiene en su desarrollo decimal cualquier sucesión finita de dígitos con la frecuencia que sugiere su tamaño. Una manera de investigar esta característica es hacer estudios estadísticos en los millones de cifras decimales conocidas del número. Para ello, es necesario computar una cantidad cada vez mayor de dígitos de Pi.

Esto se consigue gracias a los algoritmos que idean los matemáticos en base a las fórmulas de la teoría de números en las que aparece Pi. Los más empleados son los algoritmos iterativos y las series. Un algoritmo iterativo está formado por unos valores iniciales y una lista finita de operaciones que hay que realizar de forma cíclica una y otra vez de manera que en cada iteración va mejorando el resultado y, en este caso, permite obtener más cifras de Pi. Cuanto más mejore el resultado en cada iteración, y más sencillas sean las operaciones que involucra, mejor será el algoritmo. Por otro lado, una serie es una suma infinita de términos, y se aproxima mediante una suma finita; cuantos más sumandos de la serie se consideren, mejor será la aproximación.

Hasta hace unos pocos años los récords de número de cifras se batían con superordenadores, pero el último (de más de 22 billones de cifras decimales), se ha conseguido usando un programa, ideado por el ingeniero de software Alexander Yee, que se puede descargar en ordenadores personales. Para llegar a esta situación han transcurrido muchos años de historia de fórmulas, cada vez más eficientes.

Hasta mediados del siglo XVII el único método disponible (salvo variantes) era el ideado por Arquímedes de Siracusa, aproximadamente el año 250 a.C. Consistía en considerar un hexágono inscrito y otro circunscrito a una circunferencia de diámetro unidad, y duplicar una y otra vez el número de lados para aproximar π con los perímetros de los sucesivos polígonos.

El cálculo infinitesimal del siglo XVII propició la obtención de algoritmos mucho más eficientes, entre los que destaca el del inglés John Machin, basado en la identidad π = 16 arctan(1/5) – 4 arctan(1/239) y en la por entonces bien conocida serie para el arco tangente (arctan x). Machin pudo obtener fácilmente 100 dígitos de Pi con esta fórmula. Otras similares, pero más eficientes, siguen estando entre las más empleadas hoy en día.

Leonhard Euler también se sintió fascinado por la famosa constante, y en 1748 logró representar π como producto de dos integrales elípticas. Carl Friedrich Gauss utilizó este resultado en el año 1800 para demostrar una fórmula que duplica en cada iteración el número de decimales correctos. Pero las operaciones de este algoritmo involucran raíces y resultan tediosas si se efectúan a mano. Gauss no se molestó en hacerlas y la fórmula se olvidó hasta que fue redescubierta en 1970 y de forma independiente por los matemáticos E. Salamin y R. Brent.

En 1914 se publicó un famoso artículo del matemático indio Srinivasa Ramanujan con sorprendentes fórmulas para el inverso de π, en forma de series infinitas. En la más espectacular, cada sumando aporta ocho dígitos correctos. En 1985 William Gosper la implementó con ordenador y batió un récord de más de 17 millones de cifras de π. Dos años después los hermanos ucranianos David y Gregory Chudnovsky obtuvieron una fórmula del mismo estilo, pero todavía más impresionante: va dando los decimales de 14 en 14. Ese mismo año los hermanos Jonathan y Peter Borwein obtuvieron un algoritmo cuártico, es decir que cuadruplica en cada iteración el número de dígitos correctos, utilizando ecuaciones modulares de Ramanujan.

Yo también me cuento entre los matemáticos fascinados con estos problemas. En los años 2002 y 2003 demostré de una forma completamente diferente algunas de las series de tipo Ramanujan para el inverso de π, usando para ello el llamado método WZ. Estas investigaciones también me condujeron a un nuevo tipo de fórmulas, de aspecto parecido a las de Ramanujan pero para el inverso del cuadrado de π.

Mis fórmulas, aunque de convergencia rápida, no se encuentran entre las que sirven para batir récords, pero plantean nuevos e interesantes retos a los matemáticos. Por un lado, no se dispone aún de una teoría que permita entenderlas en profundidad, y por otro, muchas de ellas siguen sin haberse podido demostrar todavía aunque hay evidencia numérica de que tienen que ser ciertas.

Jesús Guillera está jubilado y es colaborador extraordinario de la Universidad de Zaragoza.